高三數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破復(fù)習(xí)檢測(cè)1

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1、1．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為_(kāi)_______．答案　解析　由柯西不等式：·≥ma＋nb，∴≥＝.2.設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明：(1)若ab>cd，則＋>＋；(2)＋>＋是

2、a－b

3、<

4、c－d

5、的充要條件．證明　(1)因?yàn)?＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若

6、a－b

7、<

8、c－d

9、，則(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得＋>＋.②若＋>＋，則(＋)2>(＋)2，即

10、a＋b＋2>c＋d＋2.因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此

11、a－b

12、<

13、c－d

14、.綜上，＋>＋是

15、a－b

16、<

17、c－d

18、的充要條件．3．設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立．證明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立．(2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立，則由a2＋a<2及a>0得0

19、a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立．4．已知x>0，y>0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.證明　由基本不等式分別當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)2＝1，x2＝y(tǒng)＝1時(shí)，“＝”成立．因此(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9＝9xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，“＝”成立．5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝

20、x＋1

21、＋

22、x－2

23、的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.解　(1)∵

24、x＋1

25、＋

26、x－2

27、≥

28、(x＋1)－(x－2)

29、＝3，當(dāng)且僅當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，“＝”成立，∴f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)證明：由(1)知，

30、p＋q＋r＝3，又p，q，r是正實(shí)數(shù)，∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9.即p2＋q2＋r2≥3.