面積最值問題

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1、二、解答重難點(diǎn)題型突破題型八第25題幾何探究題類型二　面積最值問題針對演練1.問題探究如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的各邊上，那么就稱這個(gè)正方形為此三角形的內(nèi)接正方形．(1)如圖①，△ABC為銳角三角形，請你在銳角△ABC內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接正方形；(2)如圖②，在等邊△ABC中，邊長為2，請你作出其內(nèi)接正方形EFGH，并計(jì)算正方形EFGH的邊長；問題解決(3)如圖③，有一塊圓心角為60°，半徑為a的扇形材料AOB，工人師傅為了截取面積較大的正方形以備后期工作使用，選擇方案如下：作∠AOB的角平分線

2、，交于點(diǎn)C，取OA、OB、、的中點(diǎn)，并順次連接，則所得四邊形為所截取的正方形，請你嘗試探究工人師傅所采取的方案是否能截取面積最大的正方形？若是，請求出該正方形的面積；若不是，請說出你的方案，并寫出所截取正方形的最大面積．第1題圖2.(2017原創(chuàng))如圖①所示的兩個(gè)直角三角形中，∠A＝∠D＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，用它們進(jìn)行以下探究活動．探究活動：如圖②將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N

3、兩點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AMDN是什么圖形？(2)試判斷在△DEF旋轉(zhuǎn)過程中所形成的△DMN的形狀，并說明理由；問題應(yīng)用：(3)將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的點(diǎn)D處，且BD＝2DC＝2，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在MN的值最小，同時(shí)使四邊形MEFN面積最大的情況？若存在，求出MN的值，若不存在，請說明理由．第2題圖3.(2017原創(chuàng))問題探究：(1)如圖①，點(diǎn)A、B分別在直線l1，l2上，且l1∥l

4、2，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M畫一條直線，分別交l1、l2于點(diǎn)C、D，使△AMC與△BMD的面積相等；(2)如圖②，在△ABC中，過AC邊的中點(diǎn)N任意作直線PQ，交BC邊于點(diǎn)Q，交BA的延長線于點(diǎn)P，試比較△CNQ與△APN面積的大小，并說明理由；拓展應(yīng)用：(3)如圖③，已知∠MON＝60°，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)一點(diǎn)，PC⊥OM于點(diǎn)C，PC＝3，OC＝6，過點(diǎn)P作一條直線EF，使其分別交OM，ON于點(diǎn)E，F(xiàn).△EOF的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值，若不存在，請說明理由．第3題圖4.我們將

5、能完全覆蓋某平面圖形的最小正方形稱為該平面的最小覆蓋正方形．例如圓的最小覆蓋正方形就是其外切正方形．(1)請你直接畫出如圖①中的等腰直角三角形的最小覆蓋正方形；(2)請你直接畫出如圖②中的邊長為1的等邊三角形的最小覆蓋正方形，并求出此正方形的面積；問題解決(3)李大爺現(xiàn)有一個(gè)Rt△ABC形魚塘(如圖③)，其中∠A＝90°，AC＝3，AB＝4.現(xiàn)在李大爺想把原來的魚塘擴(kuò)建成一個(gè)正方形魚塘(原魚塘周圍的面積足夠大)，為節(jié)省費(fèi)用，要求原來位于三個(gè)頂點(diǎn)的三棵樹在正方形的邊上，且這個(gè)正方形盡可能的小，請你在

6、圖③中畫出擴(kuò)建后的正方形的面積．第4題圖5.(2017原創(chuàng))已知線段AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上不確定的一點(diǎn)．(1)如圖①，分別以AP、BP為邊在AB的同側(cè)作等邊△APD和等邊△PBE，則是否存在一點(diǎn)P，使得△APD和△PBE的面積之和最小，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由；(2)如圖②，分別以AP、BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APCD和正方形PBEF.①△APM的面積與△CEM的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若AP＝m，求△CEM的面積；(用含m的式子表示)(3)如圖③，在正方形AB

7、CD中，已知AB＝4，若要求平面內(nèi)一點(diǎn)P，使其滿足∠BPD＝90°，且tan∠ABP＝3，求此時(shí)△BPD的面積．第5題圖6.(2016西安鐵一中模擬)問題探究(1)如圖①，AB∥DC，試在射線DC上找一點(diǎn)E，使S四邊形ABCD＝S△BDE，并指出四邊形ACEB是何種四邊形；(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，將△ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，補(bǔ)全圖形并求出△AA′C的面積；問題解決(3)如圖③，在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，點(diǎn)D在BC邊上，且BD＝2

8、，點(diǎn)G在AB邊上，點(diǎn)E、F在AC邊上，線段DE與線段GF交于點(diǎn)O，若DE＝GF，∠EOF＝60°，試求出四邊形DGEF面積的最小值．第6題圖答案:針對演練1.(1)【思維教練】先作一個(gè)小正方形，使其一條邊在三角形的一邊上，且有一頂點(diǎn)在另一條邊上，然后以B為位似中心，作出與其位似且第四個(gè)頂點(diǎn)恰好在第三邊上的正方形．解：如解圖①所示：在△ABC內(nèi)先作一個(gè)小正方形IJPQ，使得IJ邊恰好在BC邊上，且點(diǎn)Q恰好在AB邊上，連接BP并延長交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH∥BC，交AB于H點(diǎn)，過點(diǎn)G