面積最值問題

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1、最值問題教學(xué)設(shè)計(jì)同學(xué)們，提到數(shù)學(xué)你的第一反應(yīng)是什么？。。。抽象。。邏輯性強(qiáng)。。。其實(shí)不然，數(shù)學(xué)源于生活，更服務(wù)于生活。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之便，生物之謎，日用之繁等諸多方面，無一處不用到數(shù)學(xué)。下面，我們來看一段新聞。。。今天，讓我們也來經(jīng)歷一次“大國工匠”之旅。請看大屏幕1.問題探究如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的各邊上，那么就稱這個(gè)正方形為此三角形的內(nèi)接正方形．(1)如圖①，△ABC為銳角三角形，請你在銳角△ABC內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接正方形；(2)如圖②，在等邊△ABC中，邊長為（3+），請你作出其內(nèi)接正方形EFGH，并計(jì)算正方形EFGH的

2、邊長；問題解決(3)如圖③，有一塊圓心角為60°，半徑為a的扇形材料AOB，工人師傅為了截取面積較大的正方形以備后期工作使用，選擇方案如下：作∠AOB的角平分線，交于點(diǎn)C，取OA、OB、、的中點(diǎn)，并順次連接，則所得四邊形為所截取的正方形，請你嘗試探究工人師傅所采取的方案是否能截取面積最大的正方形？若是，請求出該正方形的面積；若不是，請說出你的方案，并寫出所截取正方形的最大面積．.(1)【思維教練】先作一個(gè)小正方形，使其一條邊在三角形的一邊上，且有一頂點(diǎn)在另一條邊上，然后以B為位似中心，作出與其位似且第四個(gè)頂點(diǎn)恰好在第三邊上的正方形．解：如解圖①所示：在△ABC內(nèi)先

3、作一個(gè)小正方形IJPQ，使得IJ邊恰好在BC邊上，且點(diǎn)Q恰好在AB邊上，連接BP并延長交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH∥BC，交AB于H點(diǎn)，過點(diǎn)G作GN⊥BC，過點(diǎn)H作HM⊥BC，垂足分別為N，M，則正方形MNGH即所要求作的銳角△ABC的內(nèi)接正方形．第1題解圖(2)解：按照(1)的做法，即正方形EFGH為等邊△ABC的內(nèi)接正方形，如解圖②，設(shè)正方形EFGH的邊長為x∵△ABC為等邊三角形，∴AE＝BF＝x，∴x＋x＝3＋，∴x＝∴四邊形EFGH的邊長為(3)【思維教練】要判斷所截取的正方形是不是面積最大的正方形，即用(1)的方法作扇形的內(nèi)接正方形并求出所作正方形的面積

4、，與工人師傅所截取正方形面積作比較，即可得出正方形的最大面積．解：工人師傅采取的方案所截取的正方形不是面積最大的正方形．理由如下：新方案如解圖③，正方形EFGH的作法同問題(1)的作法一致，采用位似的有關(guān)知識；設(shè)正方形EFGH的邊長為x，根據(jù)題意可知：OF＝＝＝x，OG＝OF＋FG＝x＋x，根據(jù)勾股定理可得：OG2＋HG2＝OH2，而OH為扇形AOB的半徑，故可得方程：(x＋x)2＋x2＝a2，解得x2＝，故S正方形EFGH＝x2＝，而問題(3)中工人師傅所截取的正方形面積S＝a·a＝a2，∵S＝a2＝a2，12＝7＋5，5＞2，∴＜，∴新方案所截取的正方形面積最

5、大，其最大面積為.4.如圖，在邊長為（３＋）的正三角形ＡＢＣ中放入正方形ＤＥＭＮ和正方形ＥＦＰＨ，使得ＤＥ、ＥＦ在邊ＡＢ上，點(diǎn)Ｐ、Ｎ分別在邊ＣＢ、ＣＡ上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由．解：如解圖，連接NE，EP，PN，則∠NEP＝90°.設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n(m≥n)，它們的面積和為S，解得m+n=3小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如何在一個(gè)已知圖形中尋找面積最值問題，主要的求解思路有兩種：1.用幾何知識在圖形中找到最值位置再求解；2.利用函數(shù)思想求解.